Question

8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B两点，已知点A的坐标是（1，a），另有一次函数y=mx+n（m≠0）的图象经过点A，交x轴于点C，交y轴于点D，OC=$\sqrt{5}$OA．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BD，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正比例函数y=2x，可得A（1，2），进而得出反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，再根据A（1，2），C（5，0）代入一次函数y=mx+n，即可得到一次函数的解析式；
（2）先求得D（0，$\frac{5}{2}$），B（-1，-2），再根据S_△ABD=S_△AOD+S_△BOD进行计算即可．

解答 解：（1）点A的坐标（1，a）代入正比例函数y=2x，
可得a=2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
可得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
∵AO=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OC=$\sqrt{5}$OA=5，即C（5，0），
把A（1，2），C（5，0）代入一次函数y=mx+n，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{0=5m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）根据y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，令x=0，则y=$\frac{5}{2}$，
∴D（0，$\frac{5}{2}$），
根据点A与点B关于原点对称，可得B（-1，-2），
∴S_△ABD=S_△AOD+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．解题时注意割补思想的运用，即S_△ABD=S_△AOD+S_△BOD．