Question

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）考查了待定系数法求一次函数；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（3）①此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．
②当t﹦2时，可求的点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．
解答：解：（1）y=-x+3；（4分）

（2）（0，），t=；（4分）（各2分）

（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=t，∠A=60°，∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=t
由3-t=t得t=；（1分）
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时，
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE=t，∴BE=3-t，∴EF==3-
∴MP=EH=EF=，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•=，解得t=．（1分）
综上所述，t为或时，四边形PEP'F为菱形．

②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3）
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度
∴C点坐标为（-，-1）
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC
由===，可得Q的坐标为（-，）（1分）
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-，）也符合条件．（1分）
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．