分析 (1)延长ED交AG于点H,证明△AOG≌△DOE,根据等量代换证明结论;
(2)根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到∠AG′O=30°,分两种情况求出α的度数;
(3)根据正方形的性质分别求出OA和OF的长,根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时α的度数.
解答 解:(1)如图1,延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD
在△AOG和△DOE中,
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠DOE}\\{OG=OE}\end{array}\right.$,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{1}{2}$OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=$\frac{OA}{OG′}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,即α=30°;
α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°-30°=150°,
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°;
②如图3,连接OF,
∵四边形OEFG是正方形,
∴∠FOE=45°,
∵正方形ABCD的边长为2,
∴OA=$\sqrt{2}$,OG=2$\sqrt{2}$,
则OF=4,
∴当α=315°时,A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,最大值为4+$\sqrt{2}$,
此时α=315°.
点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,掌握正方形的四条边相等、四个角相等,旋转变换的性质是解题的关键,注意特殊角的三角函数值的应用.
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