Question

20．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点D落在边CB上的D′处，折痕为AE，在折痕AE上存在一点P到边CB的距离与到点D的距离相等，则此相等距离为2.5．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，由翻折变换的性质得出F、B′重合，分别延长AE，DC相交于点G，由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=4，再根据相似三角形的判定定理得出△ADG∽△PB′G，求出其相似比，进而可求出答案．

解答 解：如图所示，设PF⊥CD，
∵BP=FP，
由翻折变换的性质可得BP=B′P，
∴FP=B′P，
∴FP⊥CD，
∴B′，F，P三点构不成三角形，
∴F，B′重合分别延长AE，DC相交于点G，
∵AB平行于CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=5，
∵PB′（PF）⊥CD，
∴PB′∥AD，
∴△ADG∽△PB′G，
∵Rt△ADB′中，AB′=5，AD=4，
∴DB′=3，DG=DB′+B′G=3+5=8，
∴△ADG与△PB′G的相似比为8：5，
∴AD：PB′=8：5，
∵AD=4，
∴PB′=2.5，即相等距离为2.5．
故答案为：2.5．

点评 本题考查的是图形翻折变换的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．