如图1.已知直线与抛物线交于A.B两点． (1)求A.B两点的坐标, (2)求线段A.B的垂直平分线的解析式, (3)如图2.取与线段AB等长的一根橡皮筋.端点分别固定在A.B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动.动点P将与A.B构成无数个三角形.这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在.求出最大面积.并指出此时P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

(2006，长沙)如图1，已知直线与抛物线交于A、B两点．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求线段A、B的垂直平分线的解析式；

(3)如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

答案：略
解析：

(1)解：依题意得

解之得　　

∴A(6，－3)、B(－4，2)；

(2)作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C、D两点，交AB于M(如图1)．

由(1)可知，，

∴，∴．

过B作BE⊥x轴，E为垂足．

由△BEO∽△OCM，得，，

同理，∴、．

设CD的解析式为y=kx＋b(k≠0)，

∴　　∴

∴AB的垂直平分线的解析式为；

(3)若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与x轴，y轴交于G、H两点(如图2)．

∴

∴．

∵抛物线与直线只有一个交点，

∴，

∴，∴．

∴直线GH的解析式为，

∴，，∴．

设O到GH的距离为d，

∴，

∴，∴．

∵AB∥GH，

∴P到AB的距离等于O到GH的距离d，

∴．

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（2006•长沙）如图1，已知直线y=-

x与抛物线y=-

x²+6交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．