Question

11．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出OA=OC=OB=OD，证出OE=OF，由SAS证明△OBE≌△OCF，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∵点E是AO的中点，点F是OD的中点
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，OF=$\frac{1}{2}$OD，
∴OE=OF，
在△OBE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}&{\;}\\{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴BE=CF．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．