Question

已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为

（2

3

-2）或（2

3

+2）

．

Answer 1

分析：解直角三角形求出正方形的边长AD的长度，然后分①点F在BC上，点N不在BC上时，根据旋转的性质可得AF=AM，A然后利用“HL”证明Rt△ABF和Rt△ADM全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=DM，从而得到CF=CM，然后求解即可；②点F、B都在直线BC上时，根据旋转的性质可得BF=DM，然后根据CF=BC+BF计算即可得解．

解答：解：∵∠MPN=30°，MN=2，
∴AD=MN•cot∠MPN=2×cot30°=2×

3

=2

3

，
①如图1，当点F在BC上，点N不在BC上时，根据旋转的性质AF=AM，
在Rt△ABF和Rt△ADM中，

AF=AM AN=AB(正方形的边长)

，
∴Rt△ABF≌Rt△ADM（HL），
∴BF=DM，
又∵BF=BC-CF，DM=CD-CM，
∴CF=CM=CD-DM=2

3

-2；
②如图2，△PMN绕点P顺时针旋转90°时，点F、B都在直线BC上时，
根据旋转的性质，BF=MN=2，
所以，CF=BC+BF=2

3

+2，
综上所述，CF的长为（2

3

-2）或（2

3

+2）．
故答案为：（2

3

-2）或（2

3

+2）．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，以及解直角三角形，难点在于要分△PMN的顶点N不在直线BC上与在直线BC上两种情况讨论求解．