Question

4．如图，测量人员计划测量山坡上一信号塔的高度，测量人员在山脚C处，测得塔顶A的仰角为45°，测量人员沿着坡度i=1：$\sqrt{3}$的山坡BC向上行走100米到达E处，再测得塔顶A的仰角为53°，则山坡的高度BD约为（精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈4/3，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）（　　）

• A． 100.5米
• B． 110.5米
• C． 113.5米
• D． 116.5米

Answer 1

分析 作EF⊥AD、作EG⊥CD，知EF=DG、FD=EG，由i=$\frac{EG}{CG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得FD=EG=50、GC=50$\sqrt{3}$，设BF=x，知DG=EF=$\frac{BF}{tan∠BEF}$=$\sqrt{3}$x、AF=EFtan∠AEF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x，根据AD=CD列出关于x的方程，解之求得x的值，由BD=BF+DF可得答案．

解答 解：如图，作EF⊥AD于F，作EG⊥CD于G，

则EF=DG、FD=EG，
∵i=$\frac{EG}{CG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECG=30°，
∵CE=100，
∴FD=EG=ECsin30°=50，GC=ECcos30°=50$\sqrt{3}$，
设BF=x，
∵∠BEF=∠BCD=30°，
∴DG=EF=$\frac{BF}{tan∠BEF}$=$\sqrt{3}$x，
由∠AEF=53°知AF=EFtan∠AEF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x，
∵∠ACD=45°，
∴AD=CD，即50+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x=$\sqrt{3}$x+50$\sqrt{3}$，
解得：x=150-50$\sqrt{3}$，
则BD=BF+DF=150-50$\sqrt{3}$+50=200-50$\sqrt{3}$≈113.5，
故选：C．

点评 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度．