Question

刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐______．（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．

Answer 1

解：（1）变小；

（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12cm
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm
∴DF=4cm
连接FC，设FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4cm
∴AD=AC-DC=（12-4）cm
∴AD=（12-4）cm时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
（I）当FC为斜边时，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=；
（II）当AD为斜边时，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=＞8（不合题意舍去）；
（III）当BC为斜边时，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，x²-12x+62=0，
方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
另解：BC不能为斜边，
∵FC＞CD，∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，
∴BC不能为斜边，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°
理由如下：
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线，交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4cm，PC=PF=2FD=8cm，
∴PC+PD=8+4＞12
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°
解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°
假设∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC，垂足为H．
∴HE=EF=2cm
CE=AC-AD-DE=（8-x）cm
且FC²=（12-x）²+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF为公共角
∴△CHE∽△CDF
∴=又（）²=（）²=
∴（）²=，即=整理后，得到方程x²-8x-32=0
∴x₁=4-4＜0（不符合题意，舍去）
x₂=4+4＞8（不符合题意，舍去）
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°．
分析：（1）根据题意，观察图形，F、C两点间的距离逐渐变小；
（2）①因为∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，所以AC=12cm，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm，所以DF=4cm，连接FC，设FC∥AB，则可求证∠FCD=∠A=30°，故AD的长可求；
②设AD=x，则FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长；
③假设∠FCD=15°，因为∠EFC=30°，作∠EFC的平分线，交AC于点P，则∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°，所以PD=4cm，PC=PF=2FD=8cm，故不存在．
点评：本题把相似三角形的判定和勾股定理结合求解．综合性强，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．注意解题的方法不惟一，可让学生采用不同方法求解，培养学生的思维能力．