Question

13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB=AC时，求证：四边形ADCF矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，得出AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）结合（1）可知四边形ADCF为平行四边形，再结等腰三角形的性质可得AD⊥CD，可判定出四边形ADCF为矩形；
（3）当△ABC满足∠BAC=90°时，则四边形ADCF是菱形，证明AD=CD即可．

解答 解：
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EDB}\\{∠AFE=∠EBD}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）证明：∵AB=AC，且AD为BC边上的中线，
∴AD⊥CD，
即∠ADB=90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（3）解：当△ABC满足∠BAC=90°时，则四边形ADCF是菱形，
理由如下：
∵∠BAC=90°，AD是BC边的中线，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
又∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．