Question

【题目】如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若tan∠ACB＝，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，由余角的性质可求∠ABO＝90°，可得结论；

（2）过点O作OD⊥BP于D，设AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．

证明：（1）连接OB，则OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵OA⊥l，

∴∠OAC＝90°，

∴∠ACB+∠CPA＝90°，

∴∠ABP+∠OBP＝90°，

∴∠ABO＝90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，

∵tan∠ACB＝，

∴设AP＝x，AC＝2x，

∴AB＝2x，OP＝OB＝5﹣x，

∵AO2＝OB2+AB2，

∴25＝（5﹣x）2+4x2，

∴x＝2，

∴AP＝2，AC＝4

∴OB＝OP＝3，

∴CP＝ ，

∵∠CAP＝∠ODP＝90°，∠APC＝∠OPD，

∴△ACP∽△DOP，

∴ ，

∴PD＝ ，

∵OB＝OP，OD⊥BP，

∴BP＝2PD＝ ．