Question

如图二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6。

（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k， ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，） ∴y=a(x-4)2+k， ① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k②， 由①②解得a=，k=， ∴二次函数的解析式为：； （2）∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD， ∴∠BPM=∠BDO， 又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点P的坐标为（4，）； （3）由（1）知点C(4，)， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=， ∴∠ACM=60°， ∵AC=BC， ∴∠ACB=120°， ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ， 由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o， ∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)， 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上， 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为 (10，)或(-2，)或(4，)。