Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2

3

．
（1）求⊙O的半径；
（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理,旋转的性质

专题：计算题,分类讨论

分析：（1）求出∠BOD的度数，在Rt△ODE中，根据∠DOE=30°，OE=2

3

，求出DE和OD即可；
（2）分为4种情况，分别求出∠CAB和∠OAB（或∠OAD、∠OCB）的度数，相加（或相减）即可求出答案．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BDC=

1

2

∠BOD，
而∠CDB=15°，
∴∠BOD=2×15°=30°，
在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2

3

，
∴OE=

3

DE，OD=2DE，
∴DE=

2 3

3

=2，
∴OD=4，
即⊙O的半径为4；

（2）有4种情况：如图：

①如图1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴弧BC=弧BD，
∴∠CAB=

1

2

∠BOD=15°，
∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°；
②如图2所示，∠CAD=75°-15°=60°；
③如图3所示：∠ACB=90°；
④如图4所示：∠ACB=60°；
故答案为：60°或90°．

点评：本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角．也考查了垂径定理以及角平分线的定义，本题是一道比较容易出错的题目，注意不能漏解啊．