Question

如图，已知抛物线y=x²-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．
（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m²-4m+3，通过变形为：m²-4m+5=0，由根的判别式就可以得出结论．
（2）如图，根据抛物线的解析式求出点C的坐标，再利用勾股定理求出AB、AC和BC的值，由勾股定理的逆定理就可以得出结论．
（3）假设存在点P，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，就可以求得P点的纵坐标为1，代入抛物线的解析式就可以求出P点的横坐标．
解答：解：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，
∴-2=m²-4m+3，
∴m²-4m+5=0，
∴△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，
∴此方程无实数解，
∴点M（m，-2）不会在该抛物线上；

（2）过点C作CH⊥x轴，交x轴与点H，连接CA、CB，
如图，当y=0时，x²-4x+3=0，x₁=1，x₂=3，由于点A在点B左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
∴AB=2
∵y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴C（2，-1），
∴AH=BH=CH=1
在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，
AC=，BC=，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在这样的点P．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y=x²-4x+3上，
∴当y=1时，即x²-4x+3=1，解得x₁=2-，x₂=2+，
∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的逆定理的运用，根的判别式的使用，平行四边形的判定及性质．