Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB=20cm．BC=15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/秒的速度由由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？

Answer 1

解：（1）△BPE与△CQP全等．
理由如下：∵点E为AB的中点，AB=20cm，
∴BE=AB=×20=10cm，
∵点P、Q的速度都是5cm/秒，
∴经过1秒后，BP=5cm，PC=BC-BP=15-5=10cm，CQ=5cm，
∴BE=PC，BP=CQ，
在△BPE与△CQP中，
，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；

（2）∵△BPE与△CQP全等，
∴CQ=BE=10，即BP=7.5，点Q的运动速度为10÷（7.5÷5）=cm/秒；
或CP=BE=10，即BP=5，CQ=5，点Q的运动速度为5÷（5÷5）=5cm/秒；
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴x=5舍去，
∴点Q的运动速度为cm/秒时，△BPE与△CQP全等．
分析：（1）根据点E是中点求出BE的长度，再求出BP、PC、CQ的长度，然后利用“边角边”证明△BPE与△CQP全等；
（2）根据全等三角形对应边相等分两种情况讨论求解即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的求解，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键，（2）注意要分情况讨论．