Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AF：FC=5：3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．

Answer 1

解：（1）直线CE与⊙O相切，
证明：如图，连接OD，
∵AD平分∠FAE，
∴∠CAD=∠DAE．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAE．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∵EC⊥AC，
∴OD⊥EC．
∴CE是⊙O的切线．

（2）如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°．
∵∠C=90°，
∴∠AFB=∠C．
∴BF∥EC．
∴AF：AC=AB：AE．
∵AF：FC=5：3，AE=16，
∴5：8=AB：16．
∴AB=10．
分析：（1）连接OD，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）连接BF，根据圆周角定理及平行线性质不难求得AB的长．
点评：本题利用了角的平分线的性质，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的概念，直径对的圆周角是直角求解．