【题目】如图,已知在平面直角坐标系中,点P从原点O以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动,运动时间为t秒,作点P关于直线y=tx的对称点Q,过点Q作x轴的垂线,垂足为点A.
(1)当t=2时,求AO的长.
(2)当t=3时,求AQ的长.
(3)在点P的运动过程中,用含t的代数式表示线段AP的长.
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】
过P作PD⊥x轴,交直线y=tx于D,连接OQ,
(1)证△OPD∽△QAP,得,AP=2AQ,设AQ=a,
由勾股定理得:OQ2=AQ2+AO2,;
②设AQ=a,Rt△AQO中,由勾股定理得:OQ2=AQ2+AO2,;
(3)同理OP=t,PD=t2,△OPD∽△QAP,故,AP=tAQ,在Rt△AQO中,OQ=OP=t,由勾股定理得:OQ2=AQ2+AO2,.
解:过P作PD⊥x轴,交直线y=tx于D,连接OQ,
(1)当t=2时,y=PD=2x=4,
∵∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠APQ=90°,
∴∠BDP=∠APQ,
∴△OPD∽△QAP,
∴,
∴AP=2AQ,
设AQ=a,
Rt△AQO中,OQ=OP=2,
由勾股定理得:OQ2=AQ2+AO2,
∴,
5a2+4a﹣12=0,
a1=﹣2(舍),a2=,
∴AO=;
②当t=3时,OP=3,PD=9,
设AQ=a,
Rt△AQO中,OQ=OP=3,
由勾股定理得:OQ2=AQ2+AO2,
,
5a2+3a﹣36=0,
(a+3)(5a﹣12)=0,
a1=﹣3(舍),a2=,
∴AQ=AP=(+3)=;
(3)同理OP=t,PD=t2,
∴△OPD∽△QAP,
∴,
∴AP=tAQ,
Rt△AQO中,OQ=OP=t,
由勾股定理得:OQ2=AQ2+AO2,
∴,
AP=.
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【题目】如图,A、B两村在一条小河的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水.
⑴.若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址P应选在哪个位置?
⑵.若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址Q应选在哪个位置?请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出,并保留作图痕迹.
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
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【题目】草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象.
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值.
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【题目】勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积进行了证明.著名数学家华罗庚提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
请根据图1中直角三角形叙述勾股定理.
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2).请你利用图2,验证勾股定理;
利用图2中的直角梯形,我们可以证明.其证明步骤如下:
∵BC=a+b,AD=_____;
又∵在直角梯形ABCD中有BC_____AD(填大小关系),即_____.
∴.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是正方形,△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系.
(1)以原点O为对称中心,画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1 , A1的坐标是
(2)将原来的△ABC绕着点(﹣2,1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2 , 试在图上画出△A2B2C2的图形.
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【题目】如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)求证:AB=AC;
(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
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