Question

如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．

Answer 1

（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A=∠C′，AB=C′D
∴在△GAB与△GC′D中，

∴△GAB≌△GC′D
∴AG=C′G；

（2）解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM=4cm，ND=5cm，
∵AD=8cm，AB=6cm，
在Rt△ABD中，BD==10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴DN=BD=5cm，
在Rt△MND中，
∴MN==3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE=∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END=∠NDC，
∴∠END=∠NDC=∠NDE，
∴EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，
由勾股定理得ED²=EM²+DM²，即（x+3）²=x²+4²，
解得x=，即EM=cm．
分析：（1）通过证明△GAB≌△GC′D即可证得线段AG、C′G相等；
（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN-MN=EM的长．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．同时考查了勾股定理在折叠问题中的运用．