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如图所示,△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线DE交AC于E,交BC边于D,若AB=4厘米,BE=5厘米,△BCE的周长是18厘米,
(1)求BC的长.
(2)求证:∠ABC=2∠C.
分析:(1)根据垂直平分线的性质可得BE=CE,然后根据△BCE的周长是18厘米即可求得BC的长;
(2)根据三线合一定理即可求得BD的长,即可证明Rt△ABE≌Rt△DBE,然后根据等腰三角形的性质:等边对等角证明∠EBC=∠ECB即可证得.
解答:解:(1)在△ABC中,
∵DE是BC边的垂直平分线,
∴BE=CE=5厘米,
∵△BCE的周长是18厘米,
即BE+CE+BC=18厘米
∴BC=18-(CE+BE)=18-10=8(厘米);

(2)∵DE是BC边的垂直平分线
∴BD=CD=4厘米,
∵AB=4厘米,
∴BD=BA,
在Rt△ABE和Rt△DBE中,
BD=BA
BE=BE

∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).
∴∠ABE=∠DBE
∴∠ABC=2∠EBC
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
∴∠ABC=2∠C
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,以及等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质,正确证明Rt△ABE≌Rt△DBE是关键.
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