Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）试说明四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC与BD垂直，垂足为O．
①请判断△BDE的形状；
②若AD=6，BC=10时，求梯形ABED的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
即AD∥CE，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；

（2）①△BDE是等腰直角三角形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴ED=AC，
∴ED=BD，
∵DE∥AC，AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
即∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；

②过点D作DF⊥BE于F，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=6，
∴BE=BC+CE=10+6=16，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DF=BE=8，
∴S_梯形ABED=（AD+BE）×DF=×（6+16）×8=88．
分析：（1）由AD∥BC，DE∥AC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形ACED是平行四边形；
（2）①由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，根据等腰梯形的对角线相等，即可得AC=BD，又由四边形ACED是平行四边形，证得BD=ED，然后根据AC与BD垂直，证得∠BDE=90°，即可判定△BDE是等腰直角三角形；
②由△BDE是等腰直角三角形，即可求得其斜边上的高，然后根据梯形的面积公式求解，即可求得答案．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．