Question

12．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点C在该二次函数的图象上，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ABC外接圆圆心点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0），根据待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）设点C的坐标为（m，n），过点C作CH⊥x轴，垂足为H，由三角形的面积公式得n=±6，代入抛物线方程求得点C坐标；
（3）作线段AB、AC的中垂线交于点D，根据点的坐标特点即及抛物线的对称轴可求D的坐标．

解答 解：（1）将P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0）分别代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{2}}\\{25a+5b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
则$y=-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{2}$；                                           
（2）设点C的坐标为（m，n），如图1，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$AB•CH=12，即$\frac{1}{2}$×4×|n|=12，
解得n=±6，
当y=6时，-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=6，没有实数解，
当y=-6时，-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=-6，解得x₁=-1，x₂=7，
∴C（7，-6）或C（-1，-6）；
（3）点C₁（7，-6）与C₂（-1，-6）关于抛物线的对称轴对称，△AB C₁与△ABC₂外接圆圆心是同一点，
以点C（7，-6）为例求解．
如图2分别作AB、AC的中垂线交于点D，则D为△ABC外接圆的圆心，连接DB、DC，则DB=DC，
设D（3，y），
∵DB²=2²+y²，CD²=（y+6）²+4²
∴2²+y²=（y+6）²+4²，
解得y=-4，
∴D（3，-4），
∴△ABC外接圆的圆心D的坐标为（3，-4）．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形外心的确定及坐标的求法，在抛物线中综合面积问题，求满足条件的点坐标等问题．