Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

（1）求证：DP∥AB；

（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；

（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF－AE＝EF，见解析；（3）

【解析】

（1）由切线的性质可得∠ODP＝90°，∠BOD＝90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”即可证明DP∥AB；

（2）先证明△ADE≌△DBF，得到BF＝DE，AE＝DF，进而根据线段的运算得到“BF－AE＝EF”；

（3）由勾股定理运算得出AD，CE，CD的值，再根据PD∥AB得到∠PDA＝∠ACD，从而证明△PAD∽△PDC，根据相似比计算得出PD即可．

解：（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，∠ODP＝90°

∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，

∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，

∴∠ODP＝∠BOD，

∴PD∥AB

（2）BF－AE＝EF，

证明如下：

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°，

∵AE⊥CD，BF⊥CD

∴∠AED＝∠BFD＝90°，

∴∠FBD＋∠BDF＝90°，

∴∠FBD＝∠ADE，

∵∠AOD＝∠BOD

∴AD＝BD

∴△ADE≌△DBF（AAS），

∴BF＝DE，AE＝DF

∴　BF－AE＝DE－DF，

即BF－AE＝EF

（3）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠ACB＝45°，

在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2＝100，

在Rt△ADB中，AB2＝2AD2，

∴AD＝5，

在Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2，

∴AE＝CE＝3，

在Rt△AED中，DE＝＝4，

∴CD＝CE＋DE＝7，

∵PD∥AB，

∴∠PDA＝∠DAB，

∵∠ACD＝∠BCD＝∠DAB，

∴∠PDA＝∠ACD，

又∵∠P＝∠P，

∴△PAD∽△PDC，

∴＝＝＝＝，

∴PA＝PD＋6，　

∴＝，

∴PD＝