Question

7．如图，∠MON=30°，点A、B分别在射线OM，ON上，且AB=6，∠AB0≤90°，在线段OB上取点C，使得∠CAB=∠MON．
（1）当△ABC是等腰三角形时，求OA的长；
（2）求BC的取值范围；
（3）OA长是BC长的函数吗？如果是，请求出其函数关系式；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情形讨论即可．①如图1中，当AC=CB时．②如图2中，当AC=AB=6时．分别求解即可；
（2）由△ABC∽△OBC，推出AB²=BC•OB，可得BC•OB=36，因为∠ABC≤90°，可知当AB⊥OB时，可得OB的最小值为6$\sqrt{3}$，当BA⊥OA时，可得OB的最大值为12，即可推出BC的最大值为2$\sqrt{3}$，最小值为3；
（3）AC不是BC的函数．如图4中，设OA=y，BC=x．作AH⊥OB于H．求出y与x的关系式即可判断．

解答 解：（1）①如图1中，当AC=CB时，

易知∠CAB=∠CBA=∠AOB=30°，
∴OA=AB=6．
②如图2中，当AC=AB=6时，作CH⊥OA于H．

∵∠CAB=∠MON=30°
∴∠ACB=75°=∠O+∠OAC，
∴∠OAC=45°，
在Rt△ACH中，∵AC=6，∠CAH=∠ACH=45°，
∴AH=CH=3$\sqrt{2}$，
在Rt△OCH中，OH=$\sqrt{3}$CH=3$\sqrt{6}$，
∴OA=OH+AH=3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．
∵∠ABC≤90°，∴BC≠BA
综上所述，当△ABC是等腰三角形时，OA的长为6或3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．


（2）如图3中，

∵∠CAB=∠AOB，∠ABC=∠ABO，
∴△ABC∽△OBC，
∴AB²=BC•OB，
∴BC•OB=36，
∵∠ABC≤90°，
∴当AB⊥OB时，可得OB的最小值为6$\sqrt{3}$，当BA⊥OA时，可得OB的最大值为12，
∴BC的最大值为2$\sqrt{3}$，最小值为3，
∴2≤BC≤2$\sqrt{3}$．


（3）OA不是BC的函数．理由如下：
如图4中，设OA=y，BC=x．作AH⊥OB于H．

∵AB²=BC•OB，
∴OB=$\frac{36}{x}$，
在Rt△AOH中，∵OA=y．∠AOH=30°，
∴AH=$\frac{y}{2}$，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
在Rt△AHB中，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{36-（\frac{y}{2}）^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$y+$\sqrt{36-\frac{{y}^{2}}{4}}$=$\frac{36}{x}$，
对于x的一个确定的值，y可能有两个值和x对应，
∴y不是x的函数，
∴AC不是BC的函数．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．