Question

19．已知：如图，AE，FC都垂直于BD，垂足为E、F，AD∥BC，BE=DF．求证：OA=OC．

Answer 1

分析 根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠D，再求出BF=DE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，再利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：∵AD∥BC，
∴∠B=∠D，
∵AE，FC都垂直于BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{BF=DE}\\{∠AED=∠CFB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CFB=90°}\\{∠AOE=∠COF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OA=OC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键，难点在于二次证明三角形全等．