Question

11．如图，长方形EFGH内接于边长为1的正方形ABCD，设AE=x，试求正方形EFGH的面积y与x的函数解析式，写出自变量x的取值范围，并求出AE=$\frac{1}{4}$时，正方形EFGH的面积．

Answer 1

分析 由AAS证明△AHE≌△DGH，得出AE=DH=x，AH=DG=1-x，再根据勾股定理，求出EH²，即可得到y与x之间的函数关系式；再求出当x=$\frac{1}{4}$时，y的值，即可得出正方形EFGH的面积．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=1．
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠GHE=90°，GH=HE．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE与△DGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠3=∠2}&{\;}\\{HE=GH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴AE=DH=x，AH=DG=1-x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH²=AE²+AH²=x²+（1-x）²=2x²-2x+1；
即y=2x²-2x+1（0＜x＜1）；
当x=$\frac{1}{4}$时，y=2×（$\frac{1}{4}$）²-2×$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{8}$，
即AE=$\frac{1}{4}$时，正方形EFGH的面积为$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数在实际生活中的应用；本题难度适中，求出y与x之间的函数关系式是解题的关键．