Question

1．已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，DA=DC=2，BD=$\sqrt{19}$，∠A=60°，则BC的长为3或5．

Answer 1

分析 如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，①当∠BCD是钝角时，由Rt△DEA≌Rt△DFC，可得∠A=∠DCF=60°，由AD=DC=2，推出CF=$\frac{1}{2}$CD=1，DF=$\sqrt{3}$，在Rt△BDF中，BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=4，可得BC=BF-CF=3．②当∠BC′D是锐角时，BC′=BF+CF′=5；

解答 解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
①当∠BCD是钝角时，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE=DF，
在Rt△DEA和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEA≌Rt△DFC，
∴∠A=∠DCF=60°，
∵AD=DC=2，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=1，DF=$\sqrt{3}$，
在Rt△BDF中，BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=4，
∴BC=BF-CF=3．
②当∠BC′D是锐角时，BC′=BF+CF′=5，
故答案为3或5．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．