Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC、AC，作OD∥BC，与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E
（1）求证：△DAC是等腰三角形；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用OD∥BC得到OD⊥AC，然后根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可得到结论；
（2）连接OC，设OD交AC于点F，则可求得OF和CF，利用△COF∽△DCF，可求得DC

解答 （1）证明：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，即OD垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△DAC是等腰三角形；
（2）解：
连接OC，设OD交AC于点F，

∵O、F分别为AB、AC的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵OD⊥AC，
∴CF=$\sqrt{O{C}^{2}-O{F}^{2}}$=4，
∵∠CFO=∠DCO=90°，∠DOC=∠COF，
∴△COF∽△DOC，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{OF}{OC}$，即$\frac{4}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{20}{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质及等腰三角形的判定，掌握过切点的半径和切线垂直是解题的关键，注意在直角三角形中勾股定理的应用．