Question

如图，已知△ABC中，AB=1Ocm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿点BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，P点速度为2cm/s，Q点速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设四边形PQCB的面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取最小值，并求出最小值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ怡好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）证△APQ∽△ABC，推出

AP

AB

=

AQ

AC

，代入得出

10-2t

10

=

t

8

，求出方程的解即可；
（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程

10-2t

10

=

PD

6

，求出PD=

3

5

（10-2t），根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-

6

5

t²+6t=

1

2

×

1

2

×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．

解答：解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-2t

10

=

t

8

，
t=

40

13

，
即当t为

40

13

s时，PQ∥BC；
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

，
∴

10-2t

10

=

PD

6

，
PD=

3

5

（10-2t），
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PD=

1

2

•t•

3

5

（10-2t）=-

3

5

t²+3t，
∴S=S△ABC-S△APQ=

1

2

×8×6-（-

3

5

t²+3t）=

3

5

t²-3t+24=

3

5

（t-

5

2

）²+

81

4

，
当t=

5

2

秒时，S的最小值是

81

4

cm²．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S_△APQ=

1

2

S_△ABC
即-

3

5

t²+3t=

1

2

×

1

2

×8×6
t²-5t+20=0，
∵△=5²-4×1×20=-55＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

点评：本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．