Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于A，AB是⊙O₂的直径，BC切⊙O₁于C，若∠B=30°，BC=6．
求：（1）∠BCA的度数；（2）⊙O₁与⊙O₂的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）作辅助线，连接O₁A，根据⊙O₁和⊙O₂外切，可知点O₂，A，O₁三点共线，连接O₁C，则O₁C⊥BC，在Rt△BCO₁中，由∠B=30°，可知O₁B=2O₁C，∠AO₁C=60°，可得△O₁AC为等边三角形，AC=O₁A=AB，故∠BCA=∠B=30°．
（2）在Rt△BCO₁中，已知∠B和BC的值，可将O₁C即⊙O₁的半径求出，O₁B的长求出，根据O₂A=（O₁B-O₁A），可将⊙O₂的半径求出．
解答：解：（1）连接O₁C，O₁A，则O₁C⊥BC，O₂，A，O₁共线，
在Rt△BCO₁中，
∵∠B=30°，BC=，
∴∠AO₁C=60°，O₁B=2O₁C．
∵O₁A=O₁C，
∴AB=AC=AO₁
∴∠BCA=∠B．
∴∠BCA=30°．

（2）在Rt△BCO₁中，
∵∠B=30°，BC=，
∴O₁C=tan∠B×BC=6，O₁B=2O₁A==12．
∵O₁A=O₁C=6，
∴AB=O₁B-O₁A=6．
∴O₂A=AB=3．
∴⊙O₁，⊙O₂半径分别为6和3．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．