Question

11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，M、N分别是AB、AC的中点，连接DM、DN．
（1）若AB+AC=10，求四边形AMDN的周长；
（2）连接MN，观察并猜想，线段AD与线段MN有何位置关系？试说明你的猜想正确性．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上中线性质得出AM=DM=$\frac{1}{2}$AB，DN=AN=$\frac{1}{2}$AC，根据AB+AC=10即可得出答案；
（2）根据AM=DM和AN=DN得出M、N都在AD的垂直平分线上，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AD⊥BC于D，M、N分别是AB、AC的中点，AB+AC=10，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AB，DN=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∴AM+DM+DN+AN=2AM+2AN=2×$\frac{1}{2}$（AB+AC）=10，
所以四边形AMDN的周长为10；

（2）MN⊥AD，
理由是：∵AM=DM，AN=DN，
∴M、N都在AD的垂直平分线上，
∴MN⊥AD．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确利用地理进行推理是解此题的关键．