Question

(本题12分)已知二次函数的图象如图所示．

【小题1】（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
【小题2】（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
【小题3】（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【小题4】（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

Answer 1

【小题1】（1）y=a（x+1）（x﹣2），∵﹣2=a×1×（﹣2），∴a=1，∴y=x²﹣x﹣2，其顶点坐标是（，﹣）
【小题2】（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b，点N的坐标为N（h，﹣t），
则0=2k+b，﹣，解它们组成的方程组得：k=，b=﹣3，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=x﹣3，N点纵坐标为：﹣t，
∴﹣t=h﹣3，∴h=2﹣t，其中，∴s=（2+t）（2﹣t）=﹣t²+t+3，
∴s与t间的函数解析式为：s=﹣t²+t+3，自变量的取值围是：；
【小题3】（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P₁（，），P₂（）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m²﹣m﹣2，PA²=（m+1）²+n²,PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下几种情况讨论：（ⅰ）若∠APC=90°则AC²=PC²+AP²．可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，解得：，m₂=﹣1（舍去）．所以点．（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²∴n=m²﹣m﹣2（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5解得：，m₄=0（舍去）．所以点P₂（，﹣）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能直角
【小题4】（4）P₁（﹣1，﹣2）或P₂（﹣），（，﹣）

解析