Question

14．如图（1），双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=k'x交于A、B两点，点A在第一象限．
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为（-4，-2）；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为（-m，-$\frac{k}{m}$）；
（2）如图（2），过原点0作另一条直线l，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P、Q两点，点P在第一象限．
①试说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；
③设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，请直接写出m、n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数关于原点成中心对称，得到A与B关于原点对称，由A坐标确定出B坐标即可；把x=m代入反比例解析式表示出y，进而表示出A坐标，根据对称性求出B坐标即可；
（2）①由对称性得到A与B关于原点对称，P与Q关于原点对称，进而得到OA=OB，OP=OQ，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证；②先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，从而求得点P的坐标，再利用反比例函数k的几何意义求得三角形POE的面积等于三角形AOF的面积，从而得S_梯形PEFA=S_△POA，再利用点的坐标即可求得梯形PEFA的面积，再根据平行四边形的性质即可求得四边形APBQ的面积；③由四边形APBQ是平行四边形，当OA=OP是四边形APBQ是矩形，此时mn=K；若AB⊥PQ则四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A、P不可能在坐标轴上故不可能是正方形．

解答 解：（1）如图（1），由对称性得：A与B关于原点对称，
∵点A的坐标为（4，2），
∴点B的坐标为（-4，-2）；
∵点A的横坐标为m，
∴把x=m代入得：y=$\frac{k}{m}$，即点A的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
∴点B的坐标为：（-m，-$\frac{k}{m}$），
故答案为：（-4，-2）；（-m，-$\frac{k}{m}$）；

（2）如图（2），
①∵A与B关于原点对称，P与Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ一定是平行四边形；
②把点A的坐标（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$（k＞0）
1=$\frac{k}{3}$，解得，k=3，
所以反比例函数解析式为：y=$\frac{3}{x}$，
把点P的横坐标1代入y=$\frac{3}{x}$得，y=3，
所以点P的坐标为：（1，3），
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴${S}_{△POE}{=S}_{△AOF}=\frac{3}{2}$，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA
∵S_梯形PEFA=（1+3）×（3-1）÷2=4，
∴S_△POA=4，
∵四边形APBQ一定是平行四边形，
∴S_△POA=$\frac{1}{4}$S_{四边形APBQ}
∴S_{四边形APBQ}=16；
③四边形APBQ可能是矩形．
∵四边形APBQ是平行四边形，
∴当OA=OP时四边形APBQ是矩形，
∵OP²=OE²+PE²，OA²=OF²+AF²，
∴OE²+PE²=OF²+AF²，
∵点A、P的横坐标分别为m、n，
∴点A、P的纵坐标分别为$\frac{k}{m}$、$\frac{k}{n}$，
∴OE=n，OF=m，PE=$\frac{k}{n}$，AF=$\frac{k}{m}$，
∴n²+（$\frac{k}{n}$）²=m²+（$\frac{k}{m}$）²，
化简得，k²=（mn）²，
∵k＞0，mn＞0
∴mn=k，
∴m，n应满足的条件是mn=k；
四边形APBQ不可能是正方形．
理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P不可能达到坐标轴，故不可能是正方形，即∠POA≠90°．

点评 本题属于反比例函数综合题，主要考查了中心对称的性质，反比例函数的性质，平行四边形的判定，熟知反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称的特点是解答此题的关键．