Question

13．学校两幢教学楼之间有一块三角形地带，将其划分为三个区域：一块菱形和两块三角形．菱形作为花坛，两个三角形内铺上草皮，两幢教学楼的夹角为120°，其余尺寸如图所示，则菱形花坛的面积为$\frac{7200\sqrt{3}}{19}$m²．

Answer 1

分析 如图，设菱形AEDF的边长为6k，作BM⊥CA交CA的延长线于M，利用平行线的性质求出BE、CF（用k表示），在RT△ABM中，利用30°性质用k表示AM、BM，在RT△BCM中利用勾股定理求出k即可解决问题．

解答 解：如图，设菱形AEDF的边长为6k，作BM⊥CA交CA的延长线于M．

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{40}{60}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{FC}{AF}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=4k，CF=9k，AB=10k，AC=15k，
在RT△ABM中，∵∠M=90°，AB=10k，∠MAB=60°，
∴∠ABM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=5k，BM=5$\sqrt{3}$k，
在RT△BCM中，∵BM²+CM²=BC²，
∴75k²+400k²=10000，
∴k=$\frac{20}{\sqrt{19}}$（负根已经舍弃），
∵四边形AEDF是菱形，∠EAF=120°，
∴AE=ED=DF=AF，∠DAE=∠DAF=60°，
∴△AED，△ADF都是等边三角形，
∴S_菱形AEDF=2•S_△ADE=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×AE²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（6×$\frac{20}{\sqrt{19}}$）²=$\frac{7200\sqrt{3}}{19}$．
故答案为$\frac{7200\sqrt{3}}{19}$．

点评 本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用参数解决问题，属于中考常考题型．