Question

数学实验室：小明取出一张矩形纸片ABCD，AD=BC=5，AB=CD=25．他先在矩形ABCD的边AB上取一点M，接着在CD上取一点N，然后将纸片沿MN折叠，使MB′与DN交于点K，得到△MNK（如图①）．
（1）试判断△MNK的形状，并说明理由．

（2）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

Answer 1

△MNK是等腰三角形

∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴△MNK是等腰三角形．
（2）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．

设MK=MD=x，则AM=25-x，在Rt△DNM中，由勾股定理，得
, 
解得，．
即MD=ND=13． 
∴S_△MNK=32.5．  
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．

设MK="AK=" CK=x，则DK=25-x，同理可得
即MK=NK=13．
∴S_△MNK=32.5．

分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．