Question

11．已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．
（1）求CD的长；
（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有请尺规作出图形（不必求最小值），如果没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式计算；
（2）分点P在BC上和P在AB上两种情况，根据等腰三角形的判定定理计算；
（3）根据轴对称-最短路径的作法作图即可．

解答 解：（1）∵AC²+BC²=36+64=100，AB²=100，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CD，
解得，CD=4.8cm；
（2）当点P在BC上，CA=CP时，CP=6，
则t=12÷2=6s，
当点P在AB上，CA=CP时，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3.6，
如图1，∵CA=CP，CD为AB边上的高，
∴DP=AP=3.6，
则t=（24-7.2）÷2=8.4，
当AC=AP时，t=（24-6）÷2=9，
当PA=PC时，
如图2，作PH⊥AC于H，
则AH=CH=3，HP=$\frac{1}{2}$BC=5，
由勾股定理得，AP=5，
则t=（24-5）÷2=9.5，
故当t=6、8.4、9、9.5时，△ACP为等腰三角形；
（3）如图3，作A点关于BC的对称点A′，过A′作AB的垂线A′N，垂足为N，交BC于M点，M、N即为所求．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用、轴对称的性质，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理、理解轴对称-最短路径作图是解题的关键．