Question

5．如图，平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B作y轴的垂线，垂足为A，连结OB，将△OAB沿OB折叠，使点A落在点A₁处，A₁B与x轴交与点F．
（1）求证：OF=BF；
（2）求BF的长；
（3）求过点A₁的双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先根据图形翻折变换的性质得出∠ABO=∠A₁BO，再由AB∥OF得出∠ABO=∠BOF，故可得出结论；
（2）过点B作BD⊥x轴，则四边形OABD是矩形，故BD=OA=2，OD=AB=4，设BF=x，则DF=OD-OF=4-x，再根据勾股定理求出x的值即可；
（3）过点A₁作A₁E⊥x轴于点E，先根据HL定理得出Rt△BDF≌Rt△OA₁F，故S_△BDF=S_△OA1F，故可得出A₁E的长，由勾股定理求出OE的长，进而可得出A₁点的坐标，利用待定系数法求出过点A₁的双曲线的解析式即可．

解答 （1）证明：∵△OA₁B由△OAB翻折而成，
∴∠ABO=∠A₁BO．
∵BA⊥y轴，
∴AB∥OF，
∴∠ABO=∠BOF，
∴∠BOF=∠A₁BO，
∴OF=BF；

（2）过点B作BD⊥x轴，则四边形OABD是矩形，
∵点B的坐标为（4，2），
∴BD=OA=2，OD=AB=4，
设BF=x，则DF=OD-OF=4-x，
在Rt△BDF中，
BD²+DF²=BF²，即2²+（4-x）²=x²，解得x=$\frac{5}{2}$，即BF=$\frac{5}{2}$；

（3）过点A₁作A₁E⊥x轴于点E，
∵△OA₁B由△OAB翻折而成，
∴OA=OA₁，
∵OA=BD，
∴OA₁=BD．
∵由（1）知，OF=BF，
∴在Rt△BDF与Rt△OA₁F中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA}_{1}=BD\\ OF=BF\end{array}\right.$，
∴△Rt△BDF≌Rt△OA₁F，
∴S_△BDF=S_△OA1F，
∵由（2）知，OF=BF=$\frac{5}{2}$，BD=2，DF=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴A₁E=$\frac{BD•DF}{OF}$=$\frac{2×\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{6}{5}$．
在Rt△OEA₁中，OE=$\sqrt{{OA}_{1}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{（-\frac{6}{5}）}^{2}}$=$\frac{8}{5}$．
∴A₁（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
设求过点A₁的双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∴k=$\frac{8}{5}$×（-$\frac{6}{5}$）=-$\frac{48}{25}$，
∴过点A₁的双曲线的解析式为y=-$\frac{48}{25x}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用地待定系数法求反比例函数的解析式、勾股定理、翻折变换的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．