Question

【题目】已知抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）若将抛物线L沿y轴平移后得到抛物线L′，抛物线L′经过点E（4，1），与y轴的交点为C′，顶点为D′，在抛物线L′上是否存在点M，使得△MCC′的面积是△MDD′面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，3），D（2，-1）；（2）M（4，1）或（，-）．

【解析】

（1）将点A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可确定函数解析式，进而求D坐标；

（2）设平移后解析式y=（x-2）2-1+h，将点E代入可求解析式y=（x-2）2-3，设M（x，x2-4x+1），由面积关系可得|x|=2|x-2|，求得M（4，1）或M（，-）．

（1）将点A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，

解得a=1，b=-4，

∴y=x2-4x+3，

∴C（0，3），D（2，-1）；

（2）设平移后解析式y=（x-2）2-1+h，

∵经过点E（4，1），

∴h=-2，

∴y=（x-2）2-3，

∴C'（0，1），D'（2，-3）

∴CC'=2，DD'=2，

∵△MCC′的面积是△MDD′面积的2倍，

设M（x，x2-4x+1），

∴|x|=2|x-2|，

∴x=4或x=，

∴M（4，1）或（，-）．