Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC=30°，⊙O的直径为4，求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）由题意得出AE=4，DO=AO=EO=AE=2，由直角三角形的性质得出CD，DE，由勾股定理求出AD，AC，由三角函数求出BC，由三角形面积、梯形面积和扇形面积公式即可得出答案．

（1）连接OD，如图所示．

在Rt△ADE中，点O为AE的中心，

∴DO=AO=EO=AE，

∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAO，

∴∠ADO=∠CAD，

∴AC∥DO．

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．

∵OD为半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的直径为4，

∴AE=4，DO=AO=EO=AE=2．

∵∠ABC=30°，

∴∠CAD=∠DAO=30°，

∴CD=AD，DE=AE=2，AD==2，

∴CD=，AC==3．

∵tan∠ABC=，

∴BC=3，

∴阴影部分面积=S△ABC﹣S梯形ODCA﹣S扇形ODE

=ACBC﹣（OD+AC）CD﹣

=×3×3﹣（2+3）×﹣

=2﹣π．