Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长是5，点O在AD上，且⊙O的直径是4．

(1)正方形的对角线BD与半圆O交于点F，求阴影部分的面积；

(2)利用图判断，半圆O与AC有没有公共点，说明理由．(提示：≈1.41)

(3)将半圆O以点E为中心，顺时针方向旋转．

①旋转过程中，△BOC的最小面积是　　；

②当半圆O过点A时，半圆O位于正方形以外部分的面积是　 　．

Answer 1

【答案】(1)π﹣2；(2)半圆O与AC没有公共点．理由见解析；(3)① ；②2π﹣ ．

【解析】

（1）连接OF，如图1，先证明△ODF为等腰直角三角形得到∠DOF=90°，如何根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形DOF-S△DOF进行计算；

（2）如图2，作OH⊥AC于H，先证明△OAH为等腰直角三角形，则OH=OA≈2.13，然后比较OH与半径的大小关系可判断半圆O与AC的位置关系；

（3）①如图3，作EM⊥BC于M，当点O到BC的距离最小，此时△ABC的面积最小，易得点O到BC的最小距离为3，然后根据三角形面积公式计算；

②当半圆O过点A时，根据圆周角定理的推论可判定点D落在AB上的点D′处，如图4，利用勾股定理计算出AD′=，然后利用半圆面积减去△AED′的面积即可得到半圆O位于正方形以外部分的面积．

(1)连接OF，如图1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ADB＝45°，

∵OF＝OD，

∴△ODF为等腰直角三角形，

∴∠DOF＝90°，

∴S阴影部分＝S扇形DOF﹣S△DOF＝﹣×2×2＝π﹣2；

(2)半圆O与AC没有公共点．理由如下：

如图2，作OH⊥AC于H，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DAC＝45°，

∴△OAH为等腰直角三角形，

∴OH＝OA＝×3≈2.13，

∵OH＞2，

∴AC与半圆O相离，

即半圆O与AC没有公共点；

(3)①如图3，作EM⊥BC于M，

当点O落在EM上的O′处时，点O到BC的距离最小，此时△ABC的面积最小，

所以△BOC的最小面积＝×5×(5﹣2)＝；

②当半圆O过点A时，即点A在半圆上，而∠A＝90°，

所以点D落在AB上的点D′处，如图4，

在Rt△AED′中，AD′＝＝＝，

所以半圆O位于正方形以外部分的面积＝π22﹣×1×＝2π﹣．

故答案为；2π﹣．