Question

1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，E是AB延长线上的点，BF⊥EC于F交⊙O于D，∠EBF=2∠EAC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，求$\frac{BF}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明CE是⊙O的切线，只要证明OC⊥EC，只要证明OC∥BF即可；
（2）由Rt△OCE∽Rt△BDA，可得$\frac{OC}{OE}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，设⊙O的半径为2r，OE=3r，BE=r，由Rt△EBF∽Rt△ABD，可得$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{4}$；

解答 （1）证明：连结OC．

∵OA=OC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴∠COE=∠EAC+∠OCA=2∠EAC，
∵∠EBF=2∠EAC，
∴∠COE=∠FBE，
∴OC∥BF，
∵BF⊥CE，
∴OC⊥CE，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：由Rt△OCE∽Rt△BDA，可得$\frac{OC}{OE}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
设⊙O的半径为2r，OE=3r，BE=r，
∵Rt△EBF∽Rt△ABD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．