Question

如图，顶点坐标为（2，-1）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x-2）²-1，代入C（O，3）后，得：
a（0-2）²-1=3，a=1
∴抛物线的解析式：y=（x-2）²-1=x²-4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直线BC：y=-x+3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴AD=

AG2+DG2

=

2

，AC=

OC2+OA2

=

10

，CD=

(3-1)2+22

=2

2

，
即：AC²=AD²+CD²，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×

2

×2

2

=2．

（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±

2

；
当x=2+

2

时，y=-x+3=1-

2

；
当x=2-

2

时，y=-x+3=1+

2

；
∴E₁（2+

2

，1-

2

）、E₂（2-

2

，1+

2

）．
②∠EDF=90°；
易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）．
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+

2

，1-

2

）、（2-

2

，1+

2

）、（1，2）或（4，-1）．