Question

【题目】在正方形ABCD和正方形AEFG中，点B在边AG上，点D在线段EA的延长线上，连接BE．

（1）如图1，求证：DG⊥BE；

（2）如图2，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，使点B恰好落在线段DG上．

①求证：DG⊥BE；

②若AB＝2，AG＝3，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②BE=.

【解析】

（1）延长EB，交DG于H，先证△DAG≌△BAE，即可得到∠DGA＝∠BEA，再证∠DHE＝90°即可；

（2）①原理同（1）；

②连接AC，交DG于点M，由正方形的对角线互相垂直平分即可求出AM=DM，再根据勾股定理即可求出MG从而求出DG，再根据①中全等即可得到线段BE的长.

（1）证明：延长EB，交DG于H，如图1所示：

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAG＝∠BAE＝90°，

在△DAG和△BAE中，

∴△DAG≌△BAE （SAS）

∴∠DGA＝∠BEA，

又∵∠DGA+∠GDA＝90°，

∴∠BEA+∠GDA＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DG⊥BE；

（2）①证明：设AG交BE于N，如图2所示：

由旋转的性质得：∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵∠BAD＝90°，∠GAE＝90°，

∴∠BAD+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，

即∠DAG＝∠BAE，

在△DAG和△BAE中，，

∴△DAG≌△BAE （SAS），

∴∠AGD＝∠AEB，

又∵∠BNG＝∠ANE，

∴∠GBE＝∠GAE＝90°，

∴DG⊥BE；

②解：如图3，连接AC，交DG于点M，

∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，

∴AC⊥BD，AD＝AB＝2，且△ADM是等腰直角三角形，

∴AM＝DM＝AD＝，

在Rt△AMG中，，

∴，

由①知，△DAG≌△BAE，

∴．