分析 （1）如图2，作辅助线构建全等三角形，利用外角定理得：∠BDE=∠ABD+∠BAD，由∠BAC=∠BAD+∠DAC，得∠ABD=∠DAC；根据SAS证明全等；
（2）如图2，根据（1）中的△ABF≌△CAD得：∠BAF=∠ACD，根据外角定理证明∠CDE=∠FAD=∠AFD，得AD=DF，所以BD=2AD；
（3）如图3，同理作辅助线在BG上取一点H，使BH=AF，证明△ABH≌△CAF和△AEH≌△DAF，得BE=2AF，则k=2．
解答 
解：（1）如图2，在BD上截取BF=AD，连接AF，
∵∠BDE=∠ABD+∠BAD，∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∵∠BDE=∠BAC，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠DAC，
∴∠ABD=∠DAC，
在△ABF和△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠DAC}\\{BF=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAD（SAS）；
（2）如图2，∵△ABF≌△CAD，
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠CDE=∠DAC+∠ACD，
∠AFD=∠ABD+∠BAF，
∵∠DAC=∠ABD，
∴∠CDE=∠AFD，
∵∠BDE=2∠CDE，∠BDE=∠AFD+∠FAD，
∴2∠CDE=∠AFD+∠FAD，
∴∠CDE=∠FAD=∠AFD，
∴AD=DF，
∴BD=BF+DF=AD+AD=2AD；
（3）如图3，在BG上取一点H，使BH=AF，连接AH，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAC+∠BAG=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠FAC=∠ABG，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△CAF，
∴∠BAH=∠ACF，
∵∠GFC=∠FAC+∠ACF，∠AHG=∠ABG+∠BAH，
∴∠GFC=∠AHG，
∵∠AFD=∠GFC，
∴∠AFD=∠AHG，
∵∠AEH=∠AGB+∠EAG=90°+∠EAG，
∠DAF=∠DAE+∠EAG=90°+∠EAG，
∴∠AEH=∠DAF，
∵AD=AE，
∴△AEH≌△DAF，
∴AF=EH，
∴BH=EH=AF，
∴BE=2AF，
∵BE=kAF，
∴k=2．
点评 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，本题截取相等的线段长，构建全等三角形是关键，这在三角形类的几何证明中，证明线段的和或倍数关系时经常运用，要熟练掌握．
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