Question

1．如图，已知点A（-1，0）、B（4，0）是抛物线y=ax²+bx-4与x轴的两个交点，点C是抛物线与y轴的交点，连接AC，抛物线的对称轴与x轴交于点M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以点M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先求出AO，CO，BM，然后点N在在x轴上方的抛物线上的对称轴上分两种情况①当△AOC∽△BMN时，②当△AOC∽△NMB时，得到比例式求出点N的坐标，再利用对称性求出在x轴下方的物线线的对称轴上的点N．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{16a+4b-4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-3x-4，
∴抛物线对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）∵抛物线解析式为y=x²-3x-4与y轴相交于点C，
∴C（0，-4），OC=4，
∵OA=1，OB=4，
∴MB=$\frac{5}{2}$，
设x轴上方抛物线的对称轴上存在点N（$\frac{3}{2}$，n），
∴MN=n，
①当△AOC∽△BMN时，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{MB}{MN}$，
∴n=10，
∴N（$\frac{3}{2}$，10），
根据对称性可知，在x轴下方的抛物线对称轴上N（$\frac{3}{2}$，-10），也能使得以点M，N，B为顶点的三角形与△AOC相似；
②当△AOC∽△NMB时，$\frac{OA}{MN}=\frac{OC}{MB}$，
∴$\frac{1}{n}$=$\frac{4}{\frac{5}{2}}$，
∴n=$\frac{5}{8}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），
∴根据对称性可知，在x轴下方的抛物线对称轴上N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$），也能使得以点M，N，B为顶点的三角形与△AOC相似；
综上所述，符合题意的点N（$\frac{3}{2}$，10），（$\frac{3}{2}$，-10），（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，解本题的关键是分情况求出点N的坐标．