Question

1．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=$\frac{7\sqrt{21}}{20}$．

Answer 1

分析 延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=$\sqrt{3}$x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）²+（$\sqrt{3}$x）²=（2-2x）²，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=$\frac{1}{2}$AF=0.7，FH=$\frac{7\sqrt{3}}{10}$，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=$\sqrt{3}$，设BE=y，则GE=2-y，由勾股定理得出（$\sqrt{3}$）²+y²=（2-y）²，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．

解答 解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：
∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠MDF=60°，
∴∠MFD=30°，
设MD=x，则DF=2x，FM=$\sqrt{3}$x，
∵DG=1，∴MG=x+1，
∴（x+1）²+（$\sqrt{3}$x）²=（2-2x）²，
解得：x=0.3，
∴DF=0.6，AF=1.4，
∴AH=$\frac{1}{2}$AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{10}$，
∵CD=BC，∠C=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵G是CD的中点，
∴BG⊥CD，
∵BC=2，GC=1，
∴BG=$\sqrt{3}$，
设BE=y，则GE=2-y，
∴（$\sqrt{3}$）²+y²=（2-y）²，
解得：y=0.25，
∴AE=1.75，
∴EH=AE-AH=1.75-0.7=1.05，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1.0{5}^{2}+（\frac{7\sqrt{3}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{21}}{20}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{21}}{20}$．

点评 本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．