Question

如图, 在Rt△ABC中，∠C＝90º, AC＝9，BC＝12，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ. 点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）.

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝__________, PD＝___________；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形，求点Q的速度.

Answer 1

(1)QB=12-2t,PD=t (2)t=秒，或t=3.6秒。（3）t=5秒，Q的速度为。

试题分析：解：（1）QB＝12－2t， PD＝.
（2）∵PD∥BC，当PD＝BQ时四边形PDBQ为平行四边形，
即12－2t＝，解得：（秒） （或秒）
∴存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形.
（3）∵t＝3.6时，BQ＝PD＝＝4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD＝＝6， BD＝15－6＝9，
∴BD≠PD，∴不存在t使四边形PDBQ为菱形.
设Q以每秒a个单位长度的速度运动，则PD＝, BD＝15－，QB＝12－at,
四边形PDBQ为菱形时，有PD＝BD＝BQ，先由＝15－得t＝5
将t＝5代入12－at＝，解得
点评：熟知以上判定条件性质，在解答题目时要认真审题，有三问需结合已知一一作答，注意的是，二问有两种情况，易遗漏，本题有一定的难度属于中档题。