Question

【题目】抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.

(1)如图1，点P，Q都在直线BC上方的抛物线上，且点P的横坐标比点Q的横坐标小1，直线PQ与x轴交于点D，过点P，Q作直线BC的垂线，垂足分别为点E，F.当PE+QF的值最大时，将四边形PEFQ沿射线PQ方向平移，记平移过程中的四边形PEFQ为P1E1F1Q1，连接CP1，P1F1，求CP1+P1F1+Q1D的最小值，并求出对应的点Q1的坐标.

(2)如图2，对于满足(1)中条件的点Q1，将线段AQ1绕原点O顺时针旋转90°，得线段A1Q2，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，点N1是点N关于直线A1Q2的对称点，若以点A1，Q1，M，N1为顶点的四边形是一个矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

Answer 1

【答案】(1)CP1+P1F1+Q1D的最小值＝6，Q1(3，2)；(2)N的坐标为()或()，()或().

【解析】

(1)如图1，过P作PL∥y轴交直线BC于L，过Q作QS∥y轴交BC于S，由抛物线解析式可求与xy轴交点，即可求出BC点坐标，进而求出直线BC解析式，设P(t，﹣t2+2t+3)，则L(t，﹣t+3)，Q(t+1，﹣t2+4)，S(t+1，﹣t+2)，将PE+QF转化为(PL+QS)，得到关于t的二次函数解析式即可求出当t＝1时，PE+QF最小，此时P(1，4)，Q(2，3)，E点与C点重合，F点坐标为(1，2)，PQ与BC平行.四边形PEFQ是正方形，进而得出P1F1＝PF＝2，CP1＝FQ1，作D(5，0)作DH⊥x轴，过Q1作Q1H⊥DH，可得Q1H＝ Q1D，故当点F、Q1、H三点在同一直线上，FQ1H⊥DH轴时，FQ1+Q1H最小，即CP1+P1F1+Q1D的值最小，由点F坐标(1，2)可得Q1(3，2)，H(5，2)，FH＝4.即可解题.

(2)根据旋转90°点坐标变化规律可知A1(0，1)，Q2(2，﹣3).根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为x＝1，设M为(1，m)，可得A1M2＝m2﹣2m+2，A1Q22＝10，MQ22＝m2﹣4m+8，分三种情况求出M，进而根据平移求出N1，再根据直线对称求出对称点连线与对称轴交点，即对称点连线的中点求出点N坐标即可.

解：(1)如图1，过P作PL∥y轴交直线BC于L，过Q作QS∥y轴交BC于S，

抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.

∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)；

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设P(t，﹣t2+2t+3)，则L(t，﹣t+3)，Q(t+1，﹣t2+4)，S(t+1，﹣t+2)，

PL＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t，QS＝﹣t2+4﹣(﹣t+2)＝﹣t2+t+2，

∵PE⊥BC，QF⊥BC，PL∥y轴，QS∥y轴

∴∠PEL＝∠QFS＝∠BOC＝90°，∠PLE＝∠QSF＝∠BCO＝45°

∴＝，＝，

∴ (﹣t2+t+2)＝

∵，0＜t＜3，

∴当t＝1时，PE+QF有最大值为，此时P(1，4)，Q(2，3)，

∴直线PQ解析式为y＝﹣x+5，PQ＝.H(0，5)，D(5，0)

∴BD＝2

如图2，过B作BB′⊥PQ于B′，在Rt△BB′D中，BB′＝BDsin∠BDB′＝2sin45°＝，

∴PE＝QF＝P1E1＝Q1F1＝BB′＝ (平行线间距离相等)

∴PQ＝QF

∵QF⊥BC，BC∥PQ，

∴QF⊥PQ，

∴四边形PEFQ是正方形，

∵∠QEP＝∠EPQ＝45°，

∴E点与C点重合，F点坐标为(1，2)

由平移知P1E1F1Q1与正方形PEFQ是全等形，

∴P1F1＝PF＝2.易证Rt△CPP1≌Rt△FQQ1，

∴CP1＝FQ1

作D(5，0)作DH⊥x轴，过Q1作Q1H⊥DH，

∵∠HDQ1＝45°，

∴Q1H＝Q1D，

当点F、Q1、H三点在同一直线上，FQ1H⊥DH轴时，FQ1+Q1H最小，即CP1+P1F1+Q1D的值最小，

∵此时，F点坐标为(1，2)，Q1(3，2)，(5，2)，FH＝4.

∴CP1+P1F1+Q1D的最小值＝4+2＝6，Q1(3，2).

(2)如图3，将线段AQ1绕原点O顺时针旋转90°得线段A1Q2，根据旋转90°点坐标变化规律可知A1(0，1)，Q2(2，﹣3).

∵抛物线对称轴为x＝＝1，设M(1，m)，∴A1M2＝(1﹣0)2+(m﹣1)2＝m2﹣2m+2

A1Q22＝(0﹣3)2+(1﹣2)2＝10

MQ22＝(1﹣3)2+(m﹣2)2＝m2﹣4m+8

若A1M为斜边，则由题意得：，

10+m2﹣4m+8＝m2﹣2m+2

解得：m＝8，

M1(1，8)

若Q2M为斜边则由题意得：，

m2﹣2m+2+10＝m2﹣4m+8

m＝﹣2，

∴M2(1，﹣2)

若A1Q2为斜边，则由题意得：，

即：(m2﹣2m+2)+(m2﹣4m+8)＝10.

解得m＝0或m＝3，

即∴M3(1，0)或M4(1，3).

∵四边形A1MQ1N1是矩形，

∴根据点的平移可知N1坐标为(﹣2，7)或(4，﹣1)或(1，0)或(1，3)，

∵N'1与N'关于直线A1Q2对称，

∴N'1N'⊥A1Q2，T为N'1N'中点，

由点坐标可求直线A1Q2解析式为：y＝﹣2x+1，

直线N'1N'解析式为：y＝+8，

故T坐标为(，)，

∴N'坐标为()

同理可得N“为()，()或()

综上所述：N的坐标为()或()，()或().