Question

（2004•茂名）已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB=AC，BC=AC，两种情况讨论，得出k的值．
解答：解法一：∵△=[-（2k+2）]²-4（k²+2k）=4k²+8k+4-4k²-8k≥0，（2分）
∴x=
∴x₁=k+2，x₂=k，（4分）
设AB=k+2，BC=k，显然AB≠BC
而△ABC的第三边长AC为10
（1）若AB=AC，则k+2=10，得k=8，即k=8时，△ABC为等腰三角形；（7分）
（2）若BC=AC，则k=10，即k=10时．△ABC为等腰三角形．（9分）
解法二：由已知方程得：（x-k-2）（x-k）=0
∴x₁=k+2，x₂=k（4分）
[以下同解法一]．
点评：解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k的值，从而证得△ABC为等腰三角形．