Question

如图，在平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交DC于点F，交BC的延长线于点G．求证：
（1）△ABE∽△FDE；
（2）AE²=EF•EG．

Answer 1

分析：（1）先由平行四边形的定义得出AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△ABE∽△FDE；
（2）先由△ABE∽△FDE，根据相似三角形对应边成比例得出

AE

EF

=

BE

ED

①，再证明△BEG∽△DEA，得出

BE

ED

=

EG

AE

②，比较①②，可得

AE

EF

=

EG

AE

，则AE²=EF•EG．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，
∴△ABE∽△FDE；

（2）由（1）知△ABE∽△FDE，
∴

AE

EF

=

BE

ED

①．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，
∴△BEG∽△DEA，
∴

BE

ED

=

EG

AE

②，
由①②可得，

AE

EF

=

EG

AE

，
∴AE²=EF•EG．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．