Question

20．在外打工的小王，利用打工赚来的积蓄，准备在家乡创办小型零部件加工企业，该零部件按规格分为5种型号，据调研显示，每种型号的日产量见下表所列（每种型号的产品每天都能销售完）．

产品型号x	1	2	3	4	5
日产量y（件）	100	90	80	70	60

由于刚创办，该企业只能生产一种型号的产品．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）已知销售单价z元与型号x之间满足x=10x+60，小王为了扩大日销售额，应选择生产那种型号的零件？并求出当日销售额ρ的最大值．
 （3）若生产每种型号产品的每件成本q元与x满足关系：q=4x+36，且日销售额不大于7000元时，需缴纳销售额5%的税收，且销售额超过7000元的需缴纳销售额10%的税收，小王生产哪一种型号可使每日获得的利润最高？
注：日销售额=日产量×销售单价；每日利润=日产量×（产品单价-成本）-税收．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）根据日销售额=日产量×销售单价列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质及实际意义可得；
（3）由日销售额是否超过7000求出整数x的值，分情况分别求出其利润，比较可得．

解答 解：（1）设y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=100}\\{2k+b=90}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴y=-10x+110；

（2）根据题意知，ρ=zy=（10x+60）（-10x+110）=-100x²+500x+6600=-100（x-$\frac{5}{2}$）²+7225，
∵x为整数，
∴当x=2时，ρ=7200，当x=3时，ρ=7220，
答：生产型号为2或3零件，日销售额最大，为7200元；

（3）由-100x²+500x+6600=7000可得x=1或x=4，
即每日获得的利润为W，
当日销售额不大于7000元时，即x=1或x≥4，
x=1时，销售单价z=10+60=70，每件成本q=40，日销售量y=100，则日销售利润W=（70-40）×100-70×100×5%=2650元；
当x=4时，销售单价z=40+60=100，每件成本q=52，日销售量y=70，则日销售利润W=（100-52）×70-70×100×5%=3010元；
当x=5时，销售单价z=50+60=110，每件成本q=56，日销售量y=60，则日销售利润W=（110-56）×60-110×60×5%=2910元；
当销售额超过7000元时，即x=2或3，
x=2时，销售单价z=20+60=80，每件成本q=44，日销售量y=90，则日销售利润W=（80-44）×90-80×90×10%=2520元；
x=3时，销售单价z=30+60=90，每件成本q=48，日销售量y=80，则日销售利润W=（90-48）×80-90×80×10%=2640元；
∴王生产型号4的产品可使每日获得的利润最高．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确抓住相等关系并列出函数解析式或算式是解题的关键．